Si on considère que le CCD est sensible de 4000 A à 9000 A, l’étendue linéaire du spectre sur sera de (9000-4000)/4752=1,05 mm. De plus, si le CCD utilisé est un KAF-0400, avec des pixels de 9 microns de cotés, il est facile de calculer l’étendue du spectre en pixels : 1,15/0,009=117 pixels. De manière générale, si e est la taille linéaire d’un pixel, celui sous-tendra un élément spectral de dimension :
Il ne faut surtout pas confondre la valeur de l'échantillonnage du spectre, calculé à l'étape précédente, avec la résolution spectrale. La valeur théorique de cette dernière est donnée par :
m = le nombre de traits au millimètre
L = la largeur éclairée du réseau
k = l’ordre du réseau
Si d est la distance séparant le foyer du réseau, la largeur éclairée sur le réseau lors de l’observation d’un objet ponctuel est :
La principale aberration affectant notre montage est la coma chromatique. Comme son nom l'indique cette aberration sera fonction de la longueur d'onde. La dimension de l’aigrette de coma chromatique exprimée en longueur d’onde est donnée par :
Avec N=4 et l=6500 A, la coma chromatique atteint 152 A, soit une longueur d’aigrette de 0,032 mm. La résolution est alors de 43. Le seul salut pour améliorer la situation est de travailler avec un télescope moins ouvert, mais ce n'est pas la panacée. D'une part, parce que la réduction du champ de vu n'est pas nécessairement une bonne chose si on souhaite observer de nombreux objets simultanément et d'autre part, parce que l'augmentation de la distance focale accroît de la dimension des étoiles, cette taille finissant alors par devenir la cause prépondérante de perte de résolution (voir plus loin).
La figure 4 montre des taches images dans le plan focal à 3 longueurs d’onde calculées par tracé de rayons dans la configuration optique de l’exemple.
Les images de la figure 4 sont entachées d'un léger astigmatisme. Dans notre montage celui-ci à une dimension linéaire égale à :
Si a =-b, l’astigmatisme s’annule pour la longueur d’onde l0 correspondant à l’angle d’émergance b. Pour se faire il faut donc incliner le réseau pour égaler les angles d'incidence et de diffraction comme le montre la figure 5.
L’angle a pour corriger l’astigmatisme à la longueur d’onde l0 est fourni en radian par la formule :
La dernière aberration qui affecte notre montage est la courbure de champ. En effet, le spectre ne se forme pas sur un plan mais le long d’une surface cylindrique. Le détecteur CCD étant bien sur plan, la focalisation ne pourra pas être réalisée simultanément en tout point du spectre. La présence de l’astigmatisme fait qu’il y a en pratique deux surfaces focales, l’une correspondant à l’image sagittale (l’image d’un objet ponctuel prend une forme allongée le long de la dispersion) avec un rayon de courbure égal à d, l’autre correspond à la focale tangentielle (l’image est allongée perpendiculairement à la dispersion) avec un rayon de courbure égal à d/3. C’est cette dernière surface focale qu'il faut essayer d'ammener au plus près du plan CCD en ajustant la focalisant du télescope, puisque les raies spectrales sont elles mêmes perpendiculaires à la dispersion. Les courbures sagittales et tangentielles ont leur concavité tournées vers le réseau. Une conséquence importante de la courbure de champ est que pour avoir un spectre approximativement net, l’image de l’objet à l’ordre zéro sera plus ou moins flou.
La défocalisation entre l’image d’ordre zéro et un point du spectre correspondant à l’angle de réfraction b est donné par :
Il est possible d’améliorer très sensiblement la qualité de notre spectrographe en ajoutant pièce optique : un prisme de petit angle au sommet dont une des faces est accolée au réseau. Si ce dernier est directement gravé sur l’une des faces du prisme on obtient un élément optique appelé GRISM, la contraction de "grating" (réseau en anglais) et de "prisme". La présence du prisme permet d’annuler complètement la coma chromatique à une longueur d’onde l0 choisie à l’avance.
Si n est l’indice de réfraction du prisme, on montre que l’angle au sommet du prisme g est calculé par la formule :
La longueur de l’aigrette de coma résiduelle pour tout autre point du spectre de longueur d’onde l est :
Pour voir un exemple concret d'utilisation du montage GRISM, cliquez ici.
Rappelez-vous pour finir que le FWHM (largeur à mi-hauteur des étoiles) détermine directement la résolution spectrale dans un spectrographe sans fente. Il faut vraiment apporté un soin particulier à la qualité du suivi, à la focalisation et au bon réglage optique du télescope. La turbulence elle-même doit être faible. Pour toute ces raisons, il est souvent plus facile de faire de bonnes images spectrales avec de courtes focales qu'avec des longues (un simple téléobjectif bien corrigé du chromatisme peut être aussi efficace qu'un télescope de 200 mm sur le plan de la résolution spectrale). Si le FWHM est de 2 pixels et si la dispersion est de 47A/pixel, il ne sera pas possible d'obtenir une résolution spectrale meilleure que 2 . 47 = 94 A.
Si vous faites des applications numériques avec le formalisme
développé dans cette page, et si vous prenez en considération
la dimension de la surface sensible du votre CCD et l'objectif affiché
d'étudier des objets faibles, il apparaît que le réseau
idéal aura 70 à 150 traits/mm tout au plus. C'est une considération
très importante dans le choix du disperseur. Attention, des réseaux
ayant 300, 600, voir 1200 traits/mm, sont plus courant que des réseaux
ayant 100 traits/mm, pourtant c'est bien ce dernier qu'il faut impérativement
sélectionner.
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